20、剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列
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一、题目
写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：
F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
输入：n = 2
输出：1
示例 2：
输入：n = 5
输出：5
提示：
0 <= n <= 100
二、解法
2.1、动态规划
核心思路：
斐波那契数的边界条件是 F(0)=0 和 F(1)=1。当 n>1 时，每一项的和都等于前两项的和，因此有如下递推关系：
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
由于斐波那契数存在递推关系，因此可以使用动态规划求解。动态规划的状态转移方程即为上述递推关系，边界条件为 F(0) 和 F(1)。
计算过程中，答案需要取模 1e9+7。
复杂度分析：
时间复杂度 O(N)：计算 f(n) 需循环 n 次，每轮循环内计算操作使用 O(1)。
空间复杂度 O(1)：几个标志变量使用常数大小的额外空间。
Code：
class Solution {
public int fib(int n) {
final int MOD = 1000000007;
if (n < 2) {
return n;
}
int p = 0, q = 0, r = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
p = q;
q = r;
r = (p + q) % MOD;
}
return r;
}
}
2.2、矩阵快速幂（待续）
动态规划的时间复杂度是 O(n)。使用矩阵快速幂的方法可以降低时间复杂度。
核心思路：
复杂度分析：
时间复杂度：O(log n)。
空间复杂度：O(1)。